第 1 课｜凸集、凸函数与约束最优性
阅读提示：这是从聊天授课内容重构的课程讲义，不是原消息的逐字拷贝。建议先阅读概念动画，再跟随推导、数值算例和练习巩固知识。
学习问题
凸集包含其任意两个点之间的整条线段；可微凸函数的切平面是全局下界。
[[diagram:convex]]
核心公式
\[f(y) ≥ f(x)+∇f(x)ᵀ(y-x)\]数值例题
考虑 min (x-2)²+(y+1)² s.t. x+y≤0。无约束点 (2,-1) 不可行，最优点在 x+y=0 上，代入 y=-x 求得 (1.5,-1.5)，最优值为 0.5。
推导、假设与边界
对凸可行域 C 与可微凸目标 f，x* 最优当且仅当 ∇f(x)ᵀ(x-x)≥0 对所有 x∈C 成立。最优点的梯度不必为零，KKT 乘子可解释为活跃约束的法向阻力。
核心推导：一阶凸性不等式
可微凸函数满足：
\[f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y),\quad t\in(0,1].\]把 $(1-t)x+ty$ 写为 $x+t(y-x)$，移项再除以 $t$：
\[\frac{f(x+t(y-x))-f(x)}t\leq f(y)-f(x).\]当 $t\to0^+$ 时，左边趋于 $\nabla f(x)^\top(y-x)$，故：
\[\boxed{f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^\top(y-x).}\]这不是局部 Taylor 近似，而是对整个凸域有效的全局下界。也是为什么一阶最优性条件能给出全局证明。
有约束情形更一般的一阶判据
设 $\mathcal C$ 凸，$f$ 凸可微，则 $x^*$ 全局最优当且仅当：
\[\nabla f(x^*)^\top(x-x^*)\geq0,\qquad\forall x\in\mathcal C.\]充分性：用上述切平面下界即可。必要性：对任意可行 $x$，沿线段 $x^+t(x-x^)$ 走一个足够小的正步长仍可行；局部最优要求这个可行方向的一阶方向导数非负。
KKT 乘子从何而来？
对约束 $g(x)\leq0$，定义 $\mathcal L(x,\lambda)=f(x)+\lambda g(x)$，$\lambda\geq0$。活跃约束满足 $g(x^)=0$；不活跃约束满足 $g(x^)<0$，互补松弛强制对应乘子 $\lambda^*=0$。
在二维算例里，$\nabla f=(-1,-1)$，活跃约束外法向 $\nabla g=(1,1)$，$\nabla f+1\nabla g=0$。最优点仍存在负梯度，但负梯度已经指向不可行方向。 这就是为什么有约束最优不一定要求梯度为零。
注意：KKT 的必要性需要合适的约束资格条件；对凸优化、合适的可行乘子等条件下，它提供全局最优性的充分依据。这些条件将在下一周正式学习。
课后练习（暂不提供答案）
练习：min x²+4y²-4x-8y s.t. x+y≤1。求最优点与乘子，验证驻点、可行性和互补松弛。
后续学习
沿各门课 12 周知识树继续递进，必要时回顾本课基本概念。